关于自然常数

自然常数 在数学、自然科学中都是一个非常重要的常数。用级数表示为:

极限证明

求证

证明

,根据二项式定理,可得:

因为

所以:

是单调递增数列,且

又因为 ,对任意 ,有:

因此, ,所以:

,即 成立

证毕。

指数函数

指数函数 是一个重要函数,表示为

证明

首先证明:

根据(1)式,对于 ,取满足 的自然数 ,则:

时, ,并且

同理,

所以(3)式成立。

再证明:

,则 。当 时, ,得:

所以(4)式成立

时,令

时,令 ,则

所以(2)式成立。

证毕。

根据 (见[1]的56页)和(2)式,可得:

如果以自然常数 作为对数的底,即 ,称为自然对数,一般记作 的单调递增函数。

对数函数的导数

设对数函数 ,定义域是

,则上式变化为:

根据(1)式,可得: 。结合 的连续性,可得:

对于自然对数, ,则:

参考文献

  1. 微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京:人民邮电出版社,2008.4.第1版
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/aboute.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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