关于自然常数

自然常数 $e=2.718 28 \cdots$ 在数学、自然科学中都是一个非常重要的常数。用级数表示为：

$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

极限证明

求证 $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \tag{1}$

证明

设 $e_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ，根据二项式定理，可得：

$e_n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$

令 $a_{n,k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}$

即 $e_n=1+\sum_{k=1}^na_{n,k}$

因为 $a_{n,k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$

$a_{n,k}\lt{a_{n+1,k}}\lt\frac{1}{k!}$

所以：

$e_n\lt{e_{n+1}}\lt 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$

即 $\{e_n\}$ 是单调递增数列，且 $\lim_{n\to\infty}e_n\le e$ 。

又因为 $\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=\frac{1}{k!}$ ，对任意 $m$ ，有：

$\lim_{n\to\infty}e_n\ge\lim_{n\to\infty}\left(1+\sum_{k=1}^ma_{n,k}\right)=1+\sum_{k=1}^m\frac{1}{k!}$

因此，$\lim_{n\to\infty}e_n\ge 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$ ，所以：

$\lim_{n\to\infty}e_n=e$ ，即 $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 成立

证毕。

指数函数 $e^x$

指数函数 $e^x$ 是一个重要函数，表示为

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \tag{2}$

证明

首先证明：

$e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \tag{3}$

根据（1）式，对于 $t$ ，取满足 $n\le t \lt n+1$ 的自然数 $n$ ，则：

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\lt\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\lt\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

当 $t\to+\infty$ 时，$n\to+\infty$ ，并且 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)=e$

同理，$\lim{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=e$

所以（3）式成立。

再证明：

$e=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t} \tag{4}$

设 $\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=1+\frac{1}{s}$ ，则 $s=t-1$ 。当 $t\to+\infty$ 时，$s\to+\infty$ ，得：

$\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s+1}=e$

所以（4）式成立

当 $x\gt0$ 时，令 $s=tx$ ，

$e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{x}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

当 $x\lt0$ 时，令 $x=-y, s=ty$ ，则 $\frac{1}{t}=\frac{y}{s}$ ，

$e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1-\frac{y}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

所以（2）式成立。

证毕。

根据 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ （见[1]的56页）和（2）式，可得：

$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{5}$

如果以自然常数 $e$ 作为对数的底，即 $\log_ex$ ，称为自然对数，一般记作 $lnx$ ，$lnx$ 是 $x$ 的单调递增函数。

对数函数的导数

设对数函数 $\log_ax,(a\ne1)$ ，定义域是 $(0,+\infty)$ 。

$\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\frac{1}{h}\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)=\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)^{1/h}$

令 $s=\frac{h}{x}$ ，则上式变化为：

$\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\log_a(1+s)^{\frac{1}{sx}}=\frac{1}{x}\log_a(1+s)^{\frac{1}{s}}$

根据（1）式，可得：$e=\lim_{s\to0}\log_a(1+s)^{1/s}$ 。结合 $\log_ax$ 的连续性，可得：

$\lim_{h\to0}\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\frac{1}{x}\lim_{s\to0}\log_a(1+s)^{\frac{1}{s}}=\frac{1}{x}\log_ae$

即

$\frac{d}{dx}\log_ax=(\log_ae)\frac{1}{x} \tag{6}$

对于自然对数，$a=e$ ，则：

$\frac{d}{dx}lnx=\frac{1}{x} \tag{7}$

参考文献

1. 微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京：人民邮电出版社，2008.4.第1版

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/aboute.html
来源: 机器学习
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