仿射变换

本文是对《机器学习数学基础》第2章2.2.4节齐次坐标系的内容拓展。

名称的来源

仿射,是英文单词 affine 的中文翻译。

单词 affine,读音:[ə'faɪn]。来自于英语affinity。英语词根fin来自于拉丁语finis,表示“边界,末端”,例如finish、final等单词。词头ad表示“去,往”,拼出名词affinity,本意为“接壤,结合”,用来指“姻亲,由于婚姻而产生的亲戚关系”,引申为“亲密关系,相似性”等

中文名称“仿射”,有一种观点是音译,来自“affine geometry”中的“fine”和“geo”两部分,于是“仿射几何”就翻译出来了

变换

对于几何图形,经常会有一些平移、旋转、缩放等形式的变换,如下图所示

  • 平移,translation
  • 旋转,rotation

平移和旋转,图形的形状(面积或体积)不变,也称为刚体变换(rigid transformation)或欧几里得变换(Euclidean transformation)。

  • 缩放,scaling。如果每个坐标方向的缩放系数相同(即各向同性,isotropic),则为 uniform scaling
  • 反射,reflection,关于某坐标轴对称。反射也可以看成是缩放的一个特例。

平移、旋转和各向同性的缩放,统称为相似变换(similarity transformation)。

  • 剪切变换,shear mapping

下图显示了相似变换、线性变换的概念所涵盖的变换方式

在线性代数中所研究的线性变换(参阅《机器学习数学基础》第2章2.2节),包括:

  • 旋转
  • 反射
  • 剪切
  • 各向同性或者不同性的缩放

以上变换的组合,也是线性变换。线性变换遵循着加法和乘法封闭原则,即:

但是,平移不是线性变换(《机器学习数学基础》第2章2.2.1节)。如果将上述的线性变换与平移合并起来,则称为affine transformation,翻译为仿射变换

变换的范围还可继续扩大,那就是射影变换(projective transformation)

本文重点探讨仿射变换。

仿射空间

仿射空间(affine space),又称线性流形,是数学中的几何结构,这种结构是欧式空间的仿射特性的推广

在仿射空间中,点与点之间的差即为向量,点与向量的加法可以得到另一个点,但是点与点之间不可以相加。

仿射空间中没有特定的原点,因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量,或称平移向量。

如果 是仿射空间, ,那么从 的位移向量为

所有向量空间都可看作仿射空间。

是向量空间, 是向量子空间, ,则 是仿射空间。这里的 也称为平移向量。

若向量空间 的维度是 ,那么 的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解;而齐次方程的解永远是线性子空间,也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为 的仿射空间也叫做仿射超平面。

仿射变换

仿射变换(affine transformation),又称仿射映射,是对一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。即:

平移变换不能用矩阵表示,为此使用齐次坐标系(《机器学习数学基础》第2章2.2.4节)。

仿射变换的性质

是一个仿射变换,则 具有:

  1. 直线到直线的映射
  2. 原来平行的直线变换之后仍然平行

证明

  1. 设直线 ,则:

    其中 ,则 仍然是直线。

  2. 是平行线,则 ,所以:

    故,变换之后所得 仍然平行。

计算工具

如果对图形进行仿射变换,以下列举两个示例。

1. OpenCV

import cv2 
import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as plt 


img = cv2.imread('headpic.png') 
rows, cols, ch = img.shape 

pts1 = np.float32([[50, 50], 
                   [200, 50],  
                   [50, 200]]) 

pts2 = np.float32([[10, 100], 
                   [200, 50],  
                   [100, 250]]) 

# 构造对应点变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2) 
dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows)) 

plt.subplot(121) 
plt.imshow(img) 
plt.title('Input') 

plt.subplot(122) 
plt.imshow(dst) 
plt.title('Output') 

plt.show()

输出图像

2. 仿射变换模块

参考文献

[1]. tetradecane. https://www.zhihu.com/question/345279684/answer/819134982

[2]. 惡魔獵人. https://www.zhihu.com/question/368556037/answer/990194830

[3]. https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

[4]. http://www.cs.tau.ac.il/~dcor/Graphics/cg-slides/trans3d.pdf

[5]. https://zh.wikipedia.org/wiki/仿射空间

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/affine.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

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