02 极限和连续

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变化率和曲线的切线

伟大的物理学家伽利略(Galileo Galilei)发现了自由落体运动的规律——传说他在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验。这个故事是他的学生记载的,其真实性,还有争议。但是,不论他是否真的做过那个实验,都不影响伽利略首先正确地研究出自由落体运动规律这个事实。

伽利略

如果用现代物理学的方式表示,自由落体运动的规律是:

其中 表示重力加速度, 表示物体下落时间。如果 ,则上面的表达式可以写成:

假设某时刻 ,下一个时刻为 ,要考察在时间间隔 内物体运动的平均速度,即:

  • 如果 ,则上式为:

很小——你说多小,比你说的还小,或者说 时,

  • 如果 ,则:

同样,当 时,

如果将上面的计算抽象为数学问题,即为:

对于函数 在区间 内:

其中, ,且 。称 在区间 上的变化率

如下图所示,区间 对应的坐标系中的两个点 ,过这两个点的直线斜率即为 。这条直线是 曲线的割线。根据图示,可以想象,如果 越来越小,那么 两点就越来越靠近,直到 ,则 点会无限接近于 点。此时,割线就逐渐演变为切线

割线

函数的极限

极限的符号为 ,它出自拉丁文limit(界限)的前三个字母。德国人浏伊连(S. L'Huilier)在1786年出版的书中,首次使用这个符号。不过,当时把“ 趋于 ”记作了“”,直到20世纪人们才逐渐用“ ”替代“ ”。英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。

定理1:极限运算法则

为实数,并且函数 的极限分为别:

则:

  • 加法:
  • 减法:
  • 数量乘法:
  • 乘法:
  • 商:
  • 指数:
  • 开方:

定理2:多项式的极限

设多项式 ,则其极限:

定理3:多项式商的极限

分别是两个多项式,且 ,则:

定理4:三明治定理

也称为夹逼定理。是一种计算极限的方法。

的区间内, ,并且常数 也在此区间内,若:

则:

:(1) (2)

证明

(1)在上一节得到了结论: ,因为 ,根据三明治定理,所以:

(2)因为 ,所以 ,则:

极限定义

设函数 ,对于任何数 ,存在一个数 ,当 时,下式成立:

则: ,即:函数 趋近于 时的极限是

例题

已知 ,求证

证明

因为:

又因为 ,则存在 ,对 ,当 时,下式成立:

同理,存在存在 ,对 ,当 时,下式成立:

,如果 ,则 ,故 成立;同样,在此条件下,也有 ,故 成立。

所以:

即: 成立。

证毕。

左极限和右极限

设函数 ,有 时其极限为 。通常,不论是 的左侧,还是右侧趋近于 ,都能得到 的值 。我们称这种极限为双侧极限

在有的情况下,从不同方向趋近 所得极限不同,这样的称为单侧极限,如果从左边趋近,即为左极限;从右边趋近,即为右极限。例如下图所示函数 ,如果 的右侧趋近于 (记作: ),则极限为 ;从左侧趋近于 (记作: ),则极限为

左极限和右极限的不同值

更一般表示:

  • 左极限:
  • 右极限:
  • 双侧极限:

证明: 的极限

函数 的图像如下图所示:

θ从双侧趋近0,函数极限都是1

求证 时,

其中 以弧度为单位。

证明

首先证明右极限是 。如下图所示,设 ,易知:

面积与边、角的关系

又因为:

所以:

因为 ,所以 ,上式各项除以 ,得:

即:

因为 ,所以 ,结合上式,根据三明治定理,可得:

再证明左极限也是

因为 都是奇函数,所以 是偶函数,则它的图像关于 轴对称。于是其左极限与右极限对称,故:

所以:

证毕。

连续

定义 为实数,并且在函数 定义域内,

  • 如果 ,则函数 连续;
  • 如果 ,则函数 右连续;
  • 如果 ,则函数 左连续。

连续性检验

函数 点连续,当且仅当满足如下三个条件:

  1. 存在( 的定义域内)
  2. 存在(当 有极限)
  3. (极限等于函数值

连续函数

所谓连续函数,即在函数定义域上每个点都连续的函数。

如果函数 上连续,它们在此遵循如下运算规则:

  • 加法:
  • 减法:
  • 数乘: 是任意一个数
  • 乘积:
  • 相除:
  • 幂运算: 是正整数
  • 开方:

如果 连续,且 连续,则复合函数 也连续。

如果 ,且 点连续,则

如果函数 在闭区间 连续,又若 之间,则存在 内的数 ,使 成立(如下图所示)。

中值定理

定理 如果函数 在闭区间 上连续,并且 ,那么,对于在 之间的任意实数 ,存在使得

成立的实数

证明 因为 ,所以下面仅就 情况进行证明。

此时:

是满足 的实数 的全体集合。

的上确界为 ,如果 ,则存在收敛于 的数列 ,因此 ,从而 。这里若假设 ,因为 是连续函数,所以满足条件 的正实数 一定存在。因此,如果 ,则 。这与 的上确界矛盾。

所以

证毕。

趋近无穷的极限

无穷 不是一个实数。函数定义域或值域中的值超过有限范围的时候,我们会用 描述该函数的变化。

定义

  1. 对任意数 ,有相应的数 ,使得函数 对于定义域内的 ,当 时,有:

    趋近无穷时 的极限是 ,记作:

  2. 对任意数 ,有相应的数 ,使得函数 对于定义域内的 ,当 时,有:

    趋近负无穷时 的极限是 ,记作:

参考文献

  1. Thomas Calculus(fourteenth edition). George B. Thomas, Joel R. Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir . Pearson Education, Inc.
  2. 普林斯顿微积分读本. 阿德里安·班纳著,杨爽等译. 北京:人民邮电出版社,2016.10
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/b01-02.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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