导数

打开本页，如果没有显示公式，请刷新页面。

导数 VS 导函数 VS 微分

導數是一個數值，意義是切線斜率;導函數是一個函數，意義上來說可稱之「切線斜率函數」。如果我們想求函數 $y=x^2+2$ 在 $x=2$ 處的切線斜率，那就是求函數 $y=x^2+2$ 在 $x = 2$ 處的導數。我們可以先求出它的導函數 $y = 2x$ ，再代入 $x = 2$ ，得到 $4$ ，便得到我們要的導數。不過，有時還是會將「導函數」 簡稱為「導數」，或許這種簡稱方式是害初學者搞混的原因吧!

至於求出導函數這個動作，則叫求導(differientiate )，我們也常稱之為「微分」。不過，「微分」這個詞，在中文口語中實在有點用途太廣:求導這個動作，我們可以說是微分，將 $y = x^2 + 2$ 微分後得到導函數 $y = 2x$ ；我們也會將導函數說是微分，$y = x^2 + 2$ 的微分是 $y = 2x$ ；還會把導數說是微分，$y = x^2 + 2$ 在 $x = 2$ 處的微分是 $4$ ；甚至，還有另一個概念，英文叫 differential，中文也叫微分！

由於中文不分詞性，當你說「微分」的時候，我們須藉由上下文，來得知你意指為何。

切线和某点的导数

定义 如下图所示，曲线 $y=f(x)$ 过点 $P(x_0, f(x_0))$ 的切线的斜率是：

$\lim_{h\to{0}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

定义 函数 $f$ 在 $x_0$ 的导数，记作：$f'(x_0)$

$f'(x_0)=\lim_{h\to{0}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

导数的含义不仅仅一种，在上述定义中，它表示曲线上某点的切线斜率。对 $\lim_{h\to{0}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 可以有不同的理解：

• $y=f(x)$ 的图像上，在 $x=x_0$ 点的切线斜率
• $f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近的变化率
• 导数 $f'(x_0)$

函数的导数

导数定义

定义 $f'(x)=\lim_{h\to{0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

此处不再强调针对某点，而是对于函数 $f$ 定义域上的任何一点。

对于定义域中的 $x$ ，如果存在 $f'$ ，则称 $f$ 可导或可微。

如下图所示，令 $z=x+h$ ，则导数的另外一种定义为： $f'(x)=\lim_{z\to{x}}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$

切线方程

当 $y=f(x)$ 时，也可以用 $\frac{dy}{dx}$ 表示 $f'(x)$ ，有时也称 $\frac{dy}{dx}$ 为微商（differentiable quotient）——不是在微信上开店。

令 $\Delta x=h, \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x)$ ，则：

$\frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$

$f(x)$ 在 $x$ 点可微时，设：

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\epsilon(h,x)$

则 $\epsilon(h,x)$ 是满足 $h\ne0$ 的 $h$ 的函数，并且 $\lim_{h\to0}\epsilon(h,x)=0$ 。

再定义，当 $h=0$ 时，$\epsilon(0,x)=0$ 。

于是，对有所 $h$ ，下式成立：

$f(x+h)-f(x)=f'(x)h+\epsilon(h,x)h,\quad \lim_{h\to0}\epsilon(h,x)=0$

若 $y=f(x)$ ，则：

$\Delta{y}=\frac{dy}{dx}\Delta{x}+\epsilon(\Delta{x},x)\Delta{x}$

定义 一般地，若 $\lim_{x\to0}\alpha(x)=\alpha(0)=0$ ，则称函数 $\alpha(x)$ 为无穷小量。

当 $\epsilon(x), \alpha(x)$ 是无穷小量时，无穷小量 $\epsilon(x)\alpha(x)$ 用符号 $o(\alpha(x))$ 表示，即小写字母 $o$ 来代表 $\epsilon(x)$ 。

于是：

$\Delta{y}=\frac{dy}{dx}\Delta{x}+o(\Delta{x})$

$f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o(h)$

如果用 $x$ 替换 $x+h$ ，用 $a$ 替换 $x$ ，则上式改写为：

$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$

由此得到在 $a$ 点的函数 $f(x)$ 曲线的切线方程：

$y=f(a) + f'(a)(x-a)$

符号

由于历史原因，导数或者微分系数，有多种符号记法，除了前面使用的 $f'(x)$ 和 $\frac{dy}{dx}$ 之外，还有 $y',\dot{y},\frac{d}{dx}f(x),Df(x)$ 等。

定理 如果函数 $f$ 在 $x=c$ 可微，则 $f$ 在 $x=c$ 连续。

证明 若 $f$ 可微，即 $f'(c)$ 存在，则 $\lim_{x\to{c}}f(x)=f(c)$ ，即：

$\lim_{h\to{0}}f(c+h)=f(c), h\ne{0}$

$\begin{split}f(c+h)&=f(c)+[f(c+h)-f(c)]\\&=f(c)+\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdot{h}\end{split}$

$\begin{split}\lim_{h\to{0}}f(c+h) &= \lim_{h\to0}f(c)+\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdot\lim_{h\to0}h\\&=f(c)+f'(c)\cdot0=f(c)\end{split}$

所以，$f$ 在 $x=c$ 连续。

证毕。

微分法则

1. $f(x)=c$ ，$\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}(c)=0$

   证明 $f'(x)=\lim_{h\to{0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0$

2. $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}, n是正整数$

   证明 因为：$z^n-x^n=(z-x)(z^{n-1}+z^{n-2}x+\cdots+zx^{n-2}+x^{n-1})$

   则：

   $\begin{split}f'(x)&=\lim_{z\to{x}}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\lim_{z\to{x}}\frac{z^n-x^n}{z-x}\\&=\lim_{z\to{x}}(z^{n-1}+z^{n-2}x+\cdots+zx^{n-2}+x^{n-1})\\&=nx^{n-1}\end{split}$

   将上述结果可以推广到 $n$ 为实数

   多项式：$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 的导数为：

   $f'(x)=na_0x^{n-1}+(n-1)a_1x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}$

3. 设 $u$ 可微，$c$ 是常数，则：$\frac{d}{dx}(cu)=c\frac{du}{dx}$

   证明

   $\begin{split}\frac{d}{dx}cu&=\lim_{h\to{0}}\frac{cu(x+h)-cu(x)}{h}\\&=c\lim_{h\to{0}}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\\&=c\frac{du}{dx}\end{split}$

4. 设 $u$ 和 $v$ 在 $x$ 是可微函数，则 $u+v$ 也可微，且 $\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$

   证明

   $\begin{split}\frac{d}{dx}[u(x)+v(x)]&=\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)+v(x+h)]-[u(x)+v(x)]}{h}\\&=\lim_{h\to{0}}\left[\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right]\\&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\&=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}\end{split}$

   令 $c_1,c_2$ 为常数，则线性组合 $c_1u+c_2v$ 也可微，且：

   $\frac{d}{dx}(c_1u+c_2v)=c_1u'+c_2v'$

5. $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+\frac{du}{dx}v$

   证明 因为：$\frac{d}{dx}(uv)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

   分子先减、后加 $u(x+h)v(x)$ ，得：

   $\begin{split}\frac{d}{dx}(uv)&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\left[u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right]\\&=\lim_{h\to0}u(x+h)\cdot\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\end{split}$

   因为 $u$ 在 $x$ 连续，所以 $\lim_{h\to0}u(x+h)=u(x)$ 。上式即为：

   $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

6. $u,v$ 可微，且 $v(x)\ne{0}$ ，则：$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ [1]。如果用函数表示：$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

7. 函数 $f$ 在定义域 $\mathbb{I}$ 上关于 $x$ 可微，$g$ 在定义域 $\mathbb{J}$ 上关于 $y$ 可微，则复合函数 $g(f(x))$ 在 $\mathbb{I}$ 上关于 $x$ 可微，且 $\frac{d}{dx}g(f(x))=g'(f(x))f'(x)$ [3] 。

   证明 设 $y=f(x), z=g(y)=g(f(x))$ ，对应于 $x,y,z$ 的增量分别为 $\Delta{x}, \Delta{y}, \Delta{z}$ ，则：

   $\Delta{y}=f'(x)\Delta{x}+o(\Delta{x}), \quad \Delta{z}=g'(y)\Delta{y}+o(\Delta{y})$

   其中

   $\begin{split}&o(\Delta{x})=\epsilon_1(\Delta{x})\Delta{x}, \lim_{\Delta{x}\to0}\epsilon_1(\Delta{x})=\epsilon_1(0)=0\\&o(\Delta{y})=\epsilon_2(\Delta{y})\Delta{y}, \lim_{\Delta{y}\to0}\epsilon_2(\Delta{y})=\epsilon_2(0)=0\end{split}$

   所以：

   $\begin{split}\Delta{z}&=(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))\Delta{y}\\&=(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))(f'(x)+\epsilon_1(\Delta{x}))\Delta{x}\\&=\left[(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))f'(x)+(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))\epsilon_1(\Delta{x})\right]\Delta{x}\\&=g'(y)f'(x)\Delta{x}+[\epsilon_2(\Delta{y})f'(x)+(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))\epsilon_1(\Delta{x})]\Delta{x}\end{split}$

   令 $\epsilon(\Delta{x})=\epsilon_2(\Delta{y})f'(x)+(g'(y)+\epsilon_2(\Delta{y}))\epsilon_1(\Delta{x})$ ，则上式变为：

   $\Delta{z}=g'(y)f'(x)\Delta{x}+\epsilon(\Delta{x})\Delta{x}$

   当 $\Delta{x}\to0$ 时，$\Delta{y}\to0, \epsilon_1(\Delta{x})\to0$ ；

   当 $\Delta{y}\to0$ 时，$\epsilon_2(\Delta{y})\to0$ 。从而 $\lim_{\Delta{x}\to0}\epsilon(\Delta{x})=0$ ，所以：

   $\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{z}}{\Delta{x}}=g'(y)f'(x)$

   即：$\frac{d}{dx}g(f(x))=g'(y)f'(x), y=f(x)$

   证毕。

8. 对数的导数：$\frac{d}{dx}\log_ax=(\log_ae)\frac{1}{x}$ ，$\frac{d}{dx}lnx=\frac{1}{x}$ 。证明参阅：关于自然常数

9. 指数函数的导数：$\frac{d}{dx}a^x=(lna)a^x$ ，$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

三角函数的导数

1. $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

   证明

参考文献

1. Thomas Calculus(fourteenth edition). George B. Thomas, Joel R. Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir . Pearson Education, Inc.
2. 普林斯顿微积分读本. 阿德里安·班纳著，杨爽等译. 北京：人民邮电出版社，2016.10
3. 微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京：人民邮电出版社，2008.4.第1版

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/b01-03.html
来源: 机器学习
本文原创发布于「机器学习」,转载请注明出处,谢谢合作!