导数

打开本页,如果没有显示公式,请刷新页面。

切线和某点的导数

定义 如下图所示,曲线 过点 的切线的斜率是:

定义 函数 的导数,记作:

导数的含义不仅仅一种,在上述定义中,它表示曲线上某点的切线斜率。对 可以有不同的理解:

  • 的图像上,在 点的切线斜率
  • 附近的变化率
  • 导数

函数的导数

导数定义

定义

此处不再强调针对某点,而是对于函数 定义域上的任何一点。

对于定义域中的 ,如果存在 ,则称 可导或可微。

如下图所示,令 ,则导数的另外一种定义为:

切线方程

时,也可以用 表示 ,有时也称 微商(differentiable quotient)——不是在微信上开店。

,则:

点可微时,设:

是满足 的函数,并且

再定义,当 时,

于是,对有所 ,下式成立:

,则:

定义 一般地,若 ,则称函数 无穷小量

是无穷小量时,无穷小量 用符号 表示,即小写字母 来代表

于是:

如果用 替换 ,用 替换 ,则上式改写为:

由此得到在 点的函数 曲线的切线方程

符号

由于历史原因,导数或者微分系数,有多种符号记法,除了前面使用的 之外,还有 等。

定理 如果函数 可微,则 连续。

证明 可微,即 存在,则 ,即:

所以, 连续。

证毕。

微分法则

  1. 证明

  2. 证明 因为:

    则:

    将上述结果可以推广到 为实数

    多项式: 的导数为:

  3. 可微, 是常数,则:

    证明

  4. 是可微函数,则 也可微,且

    证明

    为常数,则线性组合 也可微,且:

  5. 证明 因为:

    分子先减、后加 ,得:

    因为 连续,所以 。上式即为:

  6. 可微,且 ,则: [1]。如果用函数表示:

  7. 函数 在定义域 上关于 可微, 在定义域 上关于 可微,则复合函数 上关于 可微,且 [3] 。

    证明 ,对应于 的增量分别为 ,则:

    其中

    所以:

    ,则上式变为:

    时,

    时, 。从而 ,所以:

    即:

    证毕。

  8. 对数的导数: 。证明参阅:关于自然常数

  9. 指数函数的导数:

三角函数的导数

  1. 证明

参考文献

  1. Thomas Calculus(fourteenth edition). George B. Thomas, Joel R. Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir . Pearson Education, Inc.
  2. 普林斯顿微积分读本. 阿德里安·班纳著,杨爽等译. 北京:人民邮电出版社,2016.10
  3. 微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京:人民邮电出版社,2008.4.第1版
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/b01-03.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

https://gitee.com/qiwsir/images/raw/master/2021-2-15/1613357594979-1.png

results matching ""

    No results matching ""