贝叶斯定律

贝叶斯公式

公式完整内容参阅《机器学习数学基础》一书。

定理: 如果时间 互不相容, ,则 时,有:

证明

由全概率公式 得:

再有条件概率公式 得到:

蒙提霍尔问题

蒙提霍尔问题(Monty Hall problem),或称三门问题山羊问题,是一个源自博弈论的数学游戏问题,出自美国的电视节目 Let's Make a Deal ,此节目的主持人是 Monty Hall ​。

游戏玩法是:参赛者会看见三扇关闭的们,其中一扇后面是一辆汽车,另外两扇后面是山羊。参赛者选定一扇门,在未打开那扇门之前,知道门后情形的节目主持人先打开剩下两扇门中一扇,显示出一只山羊。主持人此时会问参赛者是否更换自己选定的门。

问题是:换另外一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的概率。

解:

为三扇门开启后赢得汽车的概率,即先验概率:

假设汽车在门1的后面:

  • 若参赛者选中了门1,则主持人可以在门2和门3中选择一扇打开,记作 ​ 或 ​ 。
  • 若参赛者选中了门2(或者门3),主持人只能打开门3(或者门2)。

将主持人选择某扇门的概率用条件概率形式写出:

根据贝叶斯定律,计算上述假设下的后验概率

其中 ,则:

​​​​​​​

所以,如果参赛者选中了一扇门,主持人打开一扇门后,参赛者更换自己的选择,赢得汽车的概率会较高。各种情况可以用下面的表格显示。

门1 门2 门3 更换 不更换
Car - - Lose Win
- Car - Win Lose
- - Car Win Lose

参考资料

[1]. 维基百科:蒙提霍尔问题

[2]. Kevin P. Murphy. Probabilistic Machine Learning An Introduction[M]:43-44. The MIT Press.

[3]. 概率基础

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/bayes.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

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