四元数、点积和叉积

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《机器学习数学基础》第1章1.4节介绍了内积、点积的有关概念,特别辨析了内积空间、欧几里得空间;第4章4.1.1节介绍了叉积的有关概念;4.1.2节介绍了张量积(也称外积)的概念。

以上这些内容,在不同资料中,所用术语的含义会有所差别,读者阅读的时候,不妨注意,一般资料中,都是在欧几里得空间探讨有关问题,并且是在三维的欧氏空间中,其实质所指即相同。但是,如果不是在欧氏空间中,各概念、术语则不能混用。

下面从数学史的角度,参考有关文献,阐述 空间中点积和叉积的内容,目的借此深入理解《机器学习数学基础》中有关概念。

再次强调,以下讨论,是在三维欧几里得空间

而对点积和叉积的探讨,不得不从四元数开始。

四元数

Sir William Rowan Hamilton

威廉·卢云·哈密顿爵士(英語:Sir William Rowan Hamilton,1805年8月4日-1865年9月2日),爱尔兰数学家、物理学家和天文学家。

“哈密顿”这个名称,在物理学中经常会见到,因为哈密顿在1833年建立了经典力学的重新表述(与之对应的另外一个表述是拉格朗日力学) ,并且此成果也被应用在量子力学中。

在数学方面,哈密顿最著名的贡献在于发现了四元数,在如今的计算机图形学、控制理论、信号处理、轨道力学等领域,都有四元数的应用。

此外,哈密顿还是语言天才,参考文献[5]中列出了他所懂的语言,抄录如下:

哈密顿还精通多種語言。除了歐洲語言之外,他還懂得波斯語、希臘語、拉丁語、希伯來文、古代巴勒底的巴比倫文、印度梵語、佛教原典所用的巴利語、義大利語、法語、阿拉伯語、孟加拉語、巴基斯坦語、馬來語、梵文和中文等。。

哈密顿

四元数定义

在复数 中,虚数单位 ,每个复数都可以视为平面上的一个点。

在三维欧几里得空间中,每个点可以用一个有序数 表示,这些点之间可以进行加法运算,但能不能做乘法运算?这个问题哈密顿也曾思考。据记载 ,1843年10月16日,哈密顿与夫人在运河边散步,经过一座桥,突然领悟到了四元数的定义,现在那座桥旁还立有石碑。

Brougham桥旁的石碑,这里是哈密顿获得四元素灵感之地

石碑上的内容如下:

Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication & cut it on a stone of this bridge.

每个四元数(quaternion)都是 的线性组合,即一个四元数表示为:

其中, 是实数。

四元数加法,与向量加法类似:

四元数乘法

根据四元数定义中规定的 ,可以进行虚数单位间的乘法计算,例如:

  • ,右乘 ,得: ,即
  • ,左乘 ,得: ,即
  • 根据 ,左乘 ,得: ,即
  • ......

可以得到如下乘法表:

.

从上表中会发现,四元数的乘法显然不满足交换律,比如 ,而

两个四元数相乘:

标量与四元数相乘:

四元数的加法运算和标量乘法运算,符合向量空间的加法和乘法封闭,以及向量空间的8条运算法则(参阅《机器学习数学基础》第1章1.2.1节),故四元数的集合可视为一个定义于实数的四维向量空间:

此向量空间的基为

共轭和逆

  • 四元数的共轭定义为:

  • 绝对值(模,长度,norm): (此处使用了 结论,证明见后续内容 )

  • ,则 ,且

    证明

  • ,定义逆元:

    验证

    ,即 是单位四元数,则

四元数表示:标量-向量

的单位向量(标准正交基),四元数 可以表示为:

其中 ,且

1878年,英国数学家 William Kingdon Clifford 使用上述表示方式,计算两个四元数的乘积:

推导

因为:

代入(1.1)式,得:

(1.2)式中,即有两个向量的点积和叉积。

很可惜,Clifford提出了点积和叉积之后,未及推广,英年早逝。

1901年,美国物理学家吉布斯(Josiah Willard Gibbs)的学生将他的课堂讲义整理成书,名为《向量分析》(Vector Analysis),通过这个著名的教科书,点积和叉积得以推广。

行列式与叉积

《机器学习数学基础》第4章4.1.1节中定义叉积,使用的是最常规的几何方法,下面根据参考文献[8],从行列式角度来理解叉积。

,有:

又因为:

所以:

用行列式证明叉积性质

  • 数量乘法结合律:

    根据(2.1)式,得:

    为任一向量

  • 加法分配律:

    利用前面的性质,得证。

  • 正交: ,即

    若行列式中有相同的两行,则行列式值等于零。所以:

  • 反对称性:

    行列式的两行互相交换,行列式值更改符号,所以:

  • 循环不变性:

    行列式,交换两行两次,值不变。所以:

  • 拉格朗日等式:

    ,使用行列式可乘公式和上面的正交性:

    又因为

如果,将 代入拉格朗日等式,可得:

即得:

参考文献

[1]. 线代启示录:内积与外积是怎么来的?

[2]. 维基百科:点积

[3]. 张量积

[4]. 维基百科:哈密顿力学

[5]. 维基百科:威廉·哈密顿

[6]. 维基百科:History of quaternions

[7]. 维基百科:William Kingdon Clifford

[8]. 线代启示录:关于外积与行列式的关系

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/dotcrossproduct.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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