理解特征值和特征向量

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以反射变换为例

是两个向量空间,有线性变换 ,将输入向量 映射到输出向量

对于任意 和标量 ,线性变换 满足下列性质:

也称 为线性算子(算符)。

假设几何向量空间 ,任一线性算子 都可以用 实数矩阵 表示:

其中 。称 是线性算子 的变换矩阵或表示矩阵。

下面研究在二维几何空间的镜像反射变换(reflection)。对于向量 ,以x轴为镜面的反射变换:

为标准反射矩阵。

更一般情况,求过原点的直线 的反射矩阵,即以此直线为镜面。

表示直线 的法向量,即 ,如下图所示:

则:

上面两个式子的形式相同,都是:

则称 为线性算子 的特征值(eigenvalue),对应的非零向量 为特征向量(eigenvector)。这两个量完全代表了线性算子 的固有特征。

以(3)式为例,①特征向量 经反射算子 得到的像 属于子空间 ,特征向量 决定了 的伸缩倍数,正负号决定指向是否与原来相同;②除了特征空间 ,其他不属于此子空间的非零向量皆不满足(4)式。

以上是以镜像发射变换为例。此外,线性算子 还可以有其他意义。所以,没有一个确定的答案。

在(2)式中,表示矩阵 用后面的方法得到,但是,(3)式中的镜像直线是一般的直线,不是x轴,无法用求表示矩阵 方式计算出相应的表示矩阵。

下面探讨构建变换矩阵的方法。

将线性无关的特征向量组成 的一个基底 ,任一向量 可唯一表示成:

其中 可以合并写成向量 参考基底 的向量,记作:

根据(3)式,可得:

根据(5)式,可以写出 参考基底 的坐标向量:

由此可知:若参考特征向量构成的基底,所有镜像反射矩阵必可转换成标准反射矩阵

又因为:

若假设 ,则 称为坐标变换矩阵。

因为 (由(7)式得),且 ,代入(6)式:

两边同时左乘 ,得:

将上述过程,可以用如下示意图表示:

所以, 的变换矩阵为:

自由振动系统

2021年5月20日深圳赛格大厦发生晃动,其元凶就是卡门涡流 ​​ 引起的共振,这与1940年坍塌的美国华盛顿州的塔科马海峡吊桥 ​ 的原因相同。

下面就从特征值和特征向量的角度,理解自由振动系统的共振。

一个振子的简谐振动

如图所示,物体质量 m ,令 表示弹簧于 时刻的长度,根据胡克定律,弹簧的弹力为:

由牛顿第二定律可得:

因为指数函数具有微分不变性,所以,上述微分方程的解为:

由此可得: ,所以: ,故:

可表示为特解 的线性组合:

因为 是实函数,所以 ,那么 是共轭复数,即

是实数,利用欧拉公式 可得:

其中 ​ 表示振幅, 是相位差,系数 由初始位置 和速度 决定:

简谐振子以物体的平衡位置为中心,在 之间以 为周期振动。

当物体质量越小,或劲度系数 k 越大,则振动频率越高。

两个振子的振动系统

如图所示,令 ​ 表示两个物体的平衡位置。

设从左向右,三个瘫痪的伸长量分别为 ​ ,有方程:

写成矩阵形式:

​​​​​

其中, 是实对称矩阵,

上述方程的解为: 。又:

所以:

的特征值, 又称为固有频率(特征值也称为固有值)。特征多项式:

令上式为零,则得特征值:

其固有频率为 ,对应的特征向量:

则运动的位置 为:

又因为 ​ 是实向量函数, ,可得:

其中, 都是实数。当 时,

所以得到:

​​

若两个物体在 时静止, ,则 ,即得:

两个物体的实际振动行为由初始位置决定,特征向量 代表两种振型:

  • ,则 ,故 ​ ,这时两物体的振动频率为 ,相位差为
  • ​​​​​ ,则 ​​​​​ 且 ​​​​​ ,故 ​​​​​ ,这时两物体的振动频率为 ​​​​​ ,相位差为 ​​​​​ 。

参考文献

[1]. 线代启示录:答Rich——关于特征值与特征向量的物理意义

[2]. 线代启示录:自由振动系统的特征值与特征向量

[3]. 维基百科:卡门涡流

[4]. 维基百科:塔科马海峡吊桥

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/eigenvalueandeigenvector.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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