理解特征值和特征向量
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以反射变换为例
和 是两个向量空间，有线性变换 ，将输入向量 映射到输出向量 。
对于任意 和标量 ，线性变换 满足下列性质：
若 也称 为线性算子（算符）。
假设几何向量空间 ，任一线性算子 都可以用 实数矩阵 表示：
其中 。称 是线性算子 的变换矩阵或表示矩阵。
下面研究在二维几何空间的镜像反射变换（reflection）。对于向量 ，以x轴为镜面的反射变换：
令
称 为标准反射矩阵。
更一般情况，求过原点的直线 的反射矩阵，即以此直线为镜面。
令 表示直线 的法向量，即 ，如下图所示：
则：
上面两个式子的形式相同，都是：
则称 为线性算子 的特征值（eigenvalue），对应的非零向量 为特征向量（eigenvector）。这两个量完全代表了线性算子 的固有特征。
以（3）式为例，①特征向量 经反射算子 得到的像 属于子空间 ，特征向量 决定了 的伸缩倍数，正负号决定指向是否与原来相同；②除了特征空间 ，其他不属于此子空间的非零向量皆不满足（4）式。
以上是以镜像发射变换为例。此外，线性算子 还可以有其他意义。所以，没有一个确定的答案。
在（2）式中，表示矩阵 用后面的方法得到，但是，（3）式中的镜像直线是一般的直线，不是x轴，无法用求表示矩阵 方式计算出相应的表示矩阵。
下面探讨构建变换矩阵的方法。
将线性无关的特征向量组成 的一个基底 ，任一向量 可唯一表示成：
其中 可以合并写成向量 参考基底 的向量，记作：
根据（3）式，可得：
根据（5）式，可以写出 参考基底 的坐标向量：
由此可知：若参考特征向量构成的基底，所有镜像反射矩阵必可转换成标准反射矩阵 。
又因为：
若假设 ，则 称为坐标变换矩阵。
因为 （由（7）式得），且 ，代入（6）式：
两边同时左乘 ，得：
将上述过程，可以用如下示意图表示：
所以， 的变换矩阵为：
自由振动系统
2021年5月20日深圳赛格大厦发生晃动，其元凶就是卡门涡流 引起的共振，这与1940年坍塌的美国华盛顿州的塔科马海峡吊桥 的原因相同。
下面就从特征值和特征向量的角度，理解自由振动系统的共振。
一个振子的简谐振动
如图所示，物体质量 m ，令 表示弹簧于 时刻的长度，根据胡克定律，弹簧的弹力为：
由牛顿第二定律可得：
因为指数函数具有微分不变性，所以，上述微分方程的解为：
由此可得： ，所以： ， ，故：
令 ， 可表示为特解 和 的线性组合：
因为 是实函数，所以 ，那么 和 是共轭复数，即 。
令 ， 是实数，利用欧拉公式 可得：
其中 表示振幅， 是相位差，系数 和 由初始位置 和速度 决定：
简谐振子以物体的平衡位置为中心，在 和 之间以 为周期振动。
当物体质量越小，或劲度系数 k 越大，则振动频率越高。
两个振子的振动系统
如图所示，令 和 表示两个物体的平衡位置。
设从左向右，三个瘫痪的伸长量分别为 ，有方程：
写成矩阵形式：
其中， ， 是实对称矩阵， 。
上述方程的解为： 。又：
所以：
是 的特征值， 又称为固有频率（特征值也称为固有值）。特征多项式：
令上式为零，则得特征值：
其固有频率为 和 ，对应的特征向量：
则运动的位置 为：
又因为 是实向量函数， ，可得：
其中， 都是实数。当 时，
所以得到：
若两个物体在 时静止， ，则 ，即得：
两个物体的实际振动行为由初始位置决定，特征向量 代表两种振型：
- 若 ，则 且 ，故 ，这时两物体的振动频率为 ，相位差为 。
- 若 ，则 且 ，故 ，这时两物体的振动频率为 ，相位差为 。
参考文献
[1]. 线代启示录：答Rich——关于特征值与特征向量的物理意义
[3]. 维基百科：卡门涡流
[4]. 维基百科：塔科马海峡吊桥
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/eigenvalueandeigenvector.html
来源: 机器学习
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