超平面

在探讨线性判别分析$^{[1],[2]}$ 的时候，遇到了形如 $\pmb{w}^\text{T}\pmb{x}+w_0=0$ 的直线，如果针对多维空间，则是超平面（hyperlane）。

超平面的另种定义方式$^{[3]}$

1. 代数定义

对于三维空间中平面，如果推广到 $\mathbb{R}^n$ 空间，即有线性方程组： $$\pmb{a}^{\text{T}}\pmb{x}=d\tag{1}$$ 的解所形成的集合（其中 $\pmb{a}=\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{bmatrix},\pmb{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$ ，$d$ 是实数）就构成了超平面，其向量表达式可以写成： $${H}=\{\pmb{x}\in\mathbb{R}^n|\pmb{a}^{\text{T}}\pmb{x}=d\}\tag{2}$$

2. 几何定义

设 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，$W$ 自原点平移 $\pmb{q}$ 之后所得到的集合 $S$ 称为仿射空间$^{[4]}$，如下图所示。记作： $$S=W+\pmb{q}=\{\pmb{w}+\pmb{q} \mid \pmb{w} \in W\}\tag{3}$$

在 $\mathbb{R}^n$ 中，超平面是一个维数等于 $n-1$ 的仿射空间，或者说，除了 $\mathbb{R}^n$ 本身，超平面是具有最大维数的仿射空间。

以上两个定义具有等价性。

参考资料

[1]. 费雪的线性判别分析

[2]. 线性判别分析

[3]. 超平面

[4]. 仿射变换

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/hyperplane.html
来源: 机器学习
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