不变子空间与特征值

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不变子空间

为向量空间 的一个线性变换,对于子空间 ,令 表示子空间 中所有下向量经过 映射得到的像(image)所成的集合,即:

向量空间 映射所成的集合 称为 值域(range),记作:

是一个线性变换参考某个基的表示矩阵,值域 即为 的列空间

显然, 也是 的子空间。

如果 ,称 是线性变换 的一个不变子空间(invariant subspace)。

因为 ,所以 是一个平凡的不变子空间。

例如:

矩阵 ,且向量集 的一组基:

。分别计算 ,如下:

对于任意 ,利用上述计算结果,有:

所以: ,即 是一个不变子空间,但 不是。

将上述结果三个式子,可以用矩阵表示:

令矩阵 (为基),则:

其中 是线性变换 参考基底 的表示矩阵。

如果换一另外一组基: ,其中 与上述讨论中的 不同,即有 ,则:

是一个不变子空间。

线性变换 参考基底 的表示矩阵为:

是一个分块主对角形式。

考虑一般情况。

假设 阶方阵 ,设 为不相交的不变子空间,即

,满足

各个子空间 的基向量可以组成 的一个基底 。若 的列向量依序由这些基向量构成,则 是可逆矩阵,且:

其中 阶分块矩阵。

如果每个不变子空间的维数都等于 ,即 ,则:

此时称 为可对角化矩阵。

根据(1.2)式,可以有如下陈述:

张成的子空间,且 。若 ,则必有标量 使得 成立,其中 称为 的特征值, 为对应 的特征向量。

参考文献

[1]. 线代启示录:从不变子空间切入特征值

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/invariantsubspace.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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