不变子空间与特征值
打开本页，如果没有显示公式，请刷新页面。
不变子空间
设 为向量空间 的一个线性变换，对于子空间 ，令 表示子空间 中所有下向量经过 映射得到的像（image）所成的集合，即：
向量空间 经 映射所成的集合 称为 的值域（range），记作： 。
若 是一个线性变换参考某个基的表示矩阵，值域 即为 的列空间 。
显然， 也是 的子空间。
如果 ，称 是线性变换 的一个不变子空间（invariant subspace）。
因为 ，所以 是一个平凡的不变子空间。
例如：
矩阵 ，且向量集 为 的一组基：
令 。分别计算 ，如下：
对于任意 ，利用上述计算结果，有：
所以： ，即 是一个不变子空间，但 不是。
将上述结果三个式子，可以用矩阵表示：
令矩阵 （为基），则：
其中 是线性变换 参考基底 的表示矩阵。
如果换一另外一组基： ，其中 与上述讨论中的 不同，即有 ，则：
故 是一个不变子空间。
线性变换 参考基底 的表示矩阵为：
是一个分块主对角形式。
考虑一般情况。
假设 阶方阵 ，设 为不相交的不变子空间，即 。
令 ，满足 。
各个子空间 的基向量可以组成 的一个基底 。若 的列向量依序由这些基向量构成，则 是可逆矩阵，且：
其中 是 阶分块矩阵。
如果每个不变子空间的维数都等于 ，即 ，则：
此时称 为可对角化矩阵。
根据（1.2）式，可以有如下陈述：
设 为 张成的子空间，且 。若 ，则必有标量 使得 成立，其中 称为 的特征值， 为对应 的特征向量。
参考文献
[1]. 线代启示录：从不变子空间切入特征值
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/invariantsubspace.html
来源: 机器学习
本文原创发布于「机器学习」,转载请注明出处,谢谢合作!
