可逆矩阵

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《机器学习数学基础》第2章2.3.1节阐述了可逆矩阵的定义、性质,并演示了Python中的计算函数及其应用。

若一个矩阵存在逆矩阵,则称之为可逆矩阵,或者非奇异矩阵。

并不是所有的矩阵都是可逆矩阵。

如果矩阵可逆,用手工计算,通过高斯法可以得到其逆矩阵。此外,还有其他方法可以求得逆矩阵。此处以常用的2、3阶矩阵为例,说明手工计算逆矩阵的方法。

以下内容主要参考[5]。

2阶逆矩阵公式

可逆矩阵,则其逆矩阵公式:

方法1:化简增广矩阵

其推导过程如下:

故,矩阵 可逆的充要条件是

方法2:伴随矩阵

是矩阵 的逆矩阵,则 ,即:

根据矩阵乘法的含义,可得:

利用克拉默法则 ,可以解得:

方法3:凯莱-哈密顿定理

根据凯莱-哈密顿定理,对 阶方阵,特征多项式为 表示行列式,与 含义一样),有

对矩阵 ,其特征多项式:

根据凯莱-哈密顿定理,有:

上式乘以 ,得:

因为 ,则由上式可得:

3阶逆矩阵公式

方法1:化简增广矩阵

与前述 阶方法一样。

方法2:伴随矩阵

的伴随矩阵(adjugate) ,各元素为 ,其中 表示移除 的第 行与第 列之后得到的 子阵, 为余子式(minor), 称为 的余子式。

伴随矩阵的等式

上式两边乘以 ,得:

矩阵为例,则可以得到 的逆矩阵:

对于 的矩阵,则为:

方法3:凯莱-哈密顿定理

参照前述 阶矩阵的方法,可以写出 阶矩阵的特征多项式

的特征值,因为这些特征值是特征多项式(上式)的跟,所以:

因为 (参阅《机器学习数学基础》第3章3.1.2节矩阵的迹),则:

又因为 ,根据凯莱-哈密顿定理:

上式乘以 ,得到 矩阵的逆矩阵的矩阵多项式:

同时,可以计算 的伴随矩阵:

可逆矩阵定理和性质总结

定理

是一个 的实矩阵,则以下表述对于可逆矩阵 是等价的:

  1. 是可逆的,或者说存在 满足 阶单位矩阵。

  2. 仅有平凡解

    证明

    可逆,对于 两侧左乘 。左侧得: ;右侧为: 。故

  3. 有唯一解

    证明

    假设此方程有两个相异的解 ,由已知方程式,可知:

    即非平凡解满足 。故 有唯一解。

  4. ​ 有 ​ 个非零主元(pivot)。

  5. 的简约行梯形式(reduced row echelon form)为 ,或者说 行等价于

    证明

    由第3条唯一解知,增广矩阵 可化简为 ,即:

  6. 有线性无关的列向量 (column vector)。

    证明

    的列向量,则:

    如果满足第2条定理,则 各列向量线性无关。

  7. 有线性无关的行向量 (row vector)。

    证明

    假设 的行向量线性相关,其中必定存在至少一行可表示其他行的線性組合,也就是说对 进行高斯消元法将会至少有一个零行,于是总的轴数就小于 。这与第4条定理矛盾。假设不成立。

  8. ​ 。

  9. 的列空間 (column space) 为 或者说线性变换 是满射(onto,surjective)。

  10. 的行空間 (row space) 为

  11. 的零空間 (nullspace) 为 ,或者说线性变换 是一对一(one-to-one,injective)。

  12. 的零空間为

  13. ​ 。

  14. 的特征值不为零。

  15. 是实对称正定矩阵。

  16. 的奇异值(sigular value)大于零。

参考文献

[1]. 对矩阵乘法的深入理解

[2]. 克拉默法则

[3]. https://zh.wikipedia.org/wiki/凱萊–哈密頓定理

[4]. https://zh.wikipedia.org/wiki/伴随矩阵

[5]. https://ccjou.wordpress.com/2012/10/04/三階逆矩陣公式/

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/invertiblematrix.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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