LU分解

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本文是对《机器学习数学基础》第2章2.3.3节矩阵LU分解的拓展。

判断是否可LU分解

并非所有矩阵都可以实现LU分解

定理1: 阶可逆矩阵 可以进行LU分解,则 阶顺序主子阵(leading principal submatrix) 都是可逆的

证明

用分块矩阵表示:

其中 分块矩阵。

因为 是单位下三角矩阵,且主对角线元素都是 ,则其分块矩阵 亦为三角矩阵,且主对角线元素非零。同理, 亦然。

所以 可逆,则 可以。

证毕。

的顺序主子阵依次为:

定理2:(定理1的逆定理)若矩阵 的所有顺序主子阵 都可逆,则该矩阵存在LU分解。

证明(用归纳法)

可逆,则 ,所以有: ,即为LU分解。

阶顺序主子阵 可逆,且可LU分解,

阶顺序主子阵 可以表示为:

其中 维向量, 是标量。则上式可以进一步写成:

通过对应关系,可知:

解得:

所以:

其中

因为 可逆,所以 可逆,则 。即 可以分解为

综上,定理得证。

LU分解的唯一性

对于 而言, 是单位下三角矩阵,主对角线元素为 。对于 ,以 为例,可以转化为:

所以:

假设 ,则:

由因为 都可逆,所以:

继续以 阶方阵为例,将上式等号左右分别用矩阵方式展开,得:

所以: ,非主元的值 ,故

所以: ,即 LU 分解具有唯一性。

证毕。

LU分解的应用

求解线性方程组

此应用在《机器学习数学基础》第2章2.3.3节中有详细介绍,请参阅。

计算行列式

利用LU分解可以手工计算 阶行列式。

三角矩阵的行列式等于主对角元乘积。

所以: ,则:

参考文献

[1]. https://ccjou.wordpress.com/2010/09/01/lu-分解/

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/lu-decomposition.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

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