LU分解
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本文是对《机器学习数学基础》第2章2.3.3节矩阵LU分解的拓展。
判断是否可LU分解
并非所有矩阵都可以实现LU分解。
定理1：若 阶可逆矩阵 可以进行LU分解，则 的 阶顺序主子阵（leading principal submatrix） 都是可逆的。
证明
将 用分块矩阵表示：
其中 是 分块矩阵。
因为 是单位下三角矩阵，且主对角线元素都是 ，则其分块矩阵 亦为三角矩阵，且主对角线元素非零。同理， 亦然。
所以 和 可逆，则 可以。
证毕。
例： 的顺序主子阵依次为：
定理2：（定理1的逆定理）若矩阵 的所有顺序主子阵 都可逆，则该矩阵存在LU分解。
证明（用归纳法）
， 可逆，则 ，所以有： ，即为LU分解。
设 阶顺序主子阵 可逆，且可LU分解， 。
阶顺序主子阵 可以表示为：
其中 是 维向量， 是标量。则上式可以进一步写成：
通过对应关系，可知：
解得：
所以：
其中
因为 和 可逆，所以 可逆，则 。即 可以分解为 。
综上，定理得证。
LU分解的唯一性
对于 而言， 是单位下三角矩阵，主对角线元素为 。对于 ，以 为例，可以转化为：
所以：
假设 ， ，则：
由因为 和 都可逆，所以：
继续以 阶方阵为例，将上式等号左右分别用矩阵方式展开，得：
所以： ，非主元的值 ，故
所以： ，即 LU 分解具有唯一性。
证毕。
LU分解的应用
求解线性方程组
此应用在《机器学习数学基础》第2章2.3.3节中有详细介绍，请参阅。
计算行列式
利用LU分解可以手工计算 阶行列式。
三角矩阵的行列式等于主对角元乘积。
所以： ，则：
参考文献
[1]. https://ccjou.wordpress.com/2010/09/01/lu-分解/
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/lu-decomposition.html
来源: 机器学习
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