矩阵运算

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在《机器学习数学基础》第2章的2.1.3节、2.1.4节和2.1.5节分别介绍了矩阵的加(减)法、数量乘法和矩阵乘法,这些构成了矩阵的基本运算,并且列出了矩阵的所有运算性质。在手工计算或者原理证明中,这些计算性质会经常用到。

此外,作为拓展,以下内容也不妨了解。

运算技巧

阶矩阵,且 是可逆的,则:

上述运算技巧来自参考文献[1]。

证明:

因为 可逆,所以 ,即:

计算:

所以:

证毕。

矩阵指数

定义和性质

对于 矩阵 可以定义矩阵指数(matrix exponential)。

设指数函数:

若将 替换为矩阵 ,常数 用单位矩阵 代替,则:

上述指数矩阵也收敛。

性质:

  • ,则

    根据假设:

特征值

,则 ,有:

阶矩阵 的特征值为 ,对应的特征向量 ,故 特征值为 ,对应特征向量仍然是

又因为:

行列式:

迹:

所以:

因为 ,所以矩阵指数必定可逆。

对角化

可对角化, ,则:

其中, 也是对角矩阵:

应用举例

对于:

求导数:

上述结果用于求解微分方程: ,令 ,一般解是:

参考文献

[1]. https://ccjou.wordpress.com/2010/10/04/矩陣運算的基本技巧/

[2]. 线代启示录:矩阵指数

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/matrixoperation.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

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