特征值的代数重数与几何重数
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定义
令 为一个 阶矩阵，非零向量 ，有：
则 是 的特征值， 是对应的特征向量。
由（1.1）可得：
故 的零空间 （或称对应 的特征空间）包括非零向量 ，所以 是不可逆矩阵，即
定义 的特征多项式为：
即为 的根。
设 有 个相异的特征值 ，特征多项式可以分解为：
其中特征值 的重根数 称为代数重数（algebraic multiplicity）。
次多项式 有 个根（包含重根），则： 。
特征空间 的维数 称为 的几何重数（geometric multiplicity），也就是对应 的最大线性无关的特征向量数。
几何重数不大于代数重数
下面参考文献 [3] 给出此命题的证明方法
令 为 阶矩阵 的相异特征值， 。特征值 的代数重数为 。则 的特征多项式为：
其中， 。
上述所要证明的命题，用数学式表示： 。
的特征多项式：
对于第 项， ，所以该项为 。因此， 有特征值 0 ，其代数重数为 ，以及 个相异非零特征值 ，代数重数为 ， 且 ，根据 Schur 定理， 可三角化为：
其中： 是一个酉矩阵（unitary matrix，又译作“幺正矩阵”或“么正矩阵”），满足 。 是上三角矩阵。因为 相似于 ，可知 而且这两个矩阵有相同的特征值 。所以， 的主对角元为 的特征值，也就是说 的主对角元包含 个零元，以及 个非零元，表明 。由“秩—零度定理” 可得：
证毕。
参考文献
[1]. 线代启示录：特征值的代数重数与几何重数
[2]. 矩阵的秩：零空间
[3]. 现代启示录：几何重数不大于代数重数的证明
[4]. 相似矩阵
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/multiplicity.html
来源: 机器学习
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