特征值的代数重数与几何重数

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定义

为一个 阶矩阵,非零向量 ,有:

的特征值, 是对应的特征向量。

由(1.1)可得:

的零空间 (或称对应 的特征空间)包括非零向量 ,所以 是不可逆矩阵,即

定义 的特征多项式为:

即为 的根。

个相异的特征值 ,特征多项式可以分解为:

其中特征值 的重根数 称为代数重数(algebraic multiplicity)。

次多项式 个根(包含重根),则:

特征空间 的维数 称为 几何重数(geometric multiplicity),也就是对应 的最大线性无关的特征向量数。

几何重数不大于代数重数

下面参考文献 [3] 给出此命题的证明方法

阶矩阵 的相异特征值, 。特征值 的代数重数为 。则 的特征多项式为:

其中,

上述所要证明的命题,用数学式表示:

的特征多项式:

​​

对于第 项, ,所以该项为 。因此, 有特征值 0 ,其代数重数为 ,以及 个相异非零特征值 ,代数重数为 ,根据 Schur 定理, 可三角化为:

其中: 是一个酉矩阵(unitary matrix,又译作“幺正矩阵”或“么正矩阵”),满足 是上三角矩阵。因为 相似于 ,可知 而且这两个矩阵有相同的特征值 。所以, 的主对角元为 的特征值,也就是说 的主对角元包含 个零元,以及 个非零元,表明 。由“秩—零度定理” 可得:

证毕。

参考文献

[1]. 线代启示录:特征值的代数重数与几何重数

[2]. 矩阵的秩:零空间

[3]. 现代启示录:几何重数不大于代数重数的证明

[4]. 相似矩阵

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/multiplicity.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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