不用行列式的特征分析

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在传统的线性代数教材中,行列式占据重要地位,其原因可能在于历史发展顺序。历史上,数学家们先研究怎么用行列式解线性方程组,而后才提出了矩阵等概念。

现在,有数学家提出了不同观点,认为在现代的线性代数中,可以抛弃行列式,最典型代表就是参考文献[1]的作者,美国数学家Sheldon Axler,参考文献[1]就是他的这种思想的集中体现。

下面参考文献[2],按照Sheldon Axler的思想,不用行列式,演示相关定理的证明。

设向量空间 中的线性变换 ,并 是一个子空间, 表示子空间向量经 映射后的像所成的集合,即

如果 ,则称 为线性变换 的一个不变子空间(invariant subspace)。

定理

定理1

对于 矩阵 ,若 的一个不变子空间,且 ,则存在非零特征向量 ,使得

证明

,非零向量 ,向量集 属于 且线性相关。 维子空间不可能有 个线性无关的向量。所以,存在不全为零的数 ,使得:

成立。

设系数中最大值是 ,显然 ,则可以将 次多项式分解为:

其中

于是,(1.1)式的左侧多项式可以参考(1.2)式,分解为:

(1.3)式等号右边的乘法中,至少有一个 和向量 使得:

成立。

必定有一个特征向量 对应的特征值是

证毕。

定理2

对应相异特征值 的特征向量 组成一个线性无关的向量集合。

此定理在文献[3]中已经证明,并且没有使用行列式,下面的证明即来自文献[3]

证明1

为相异特征值, ,对应特征向量集合 ,考虑:

将(1.3)式等号两侧左乘 ,并且 ,得:

因为 ,且 ,所以:

同理,可得:

是一个完整的线性无关集合。

证毕。

证明2(反证法)

是线性相关集合,在不失一般性的原则下,设 是最大的线性无关集,则:

其中 不全为零(因为 )。

(1.4)式等号两侧分别左乘 ,可得:

且:

以上两式相减:

因为 是线性无关的向量集,且 两两相异,所以: 。与(1.4)式假设中的系数矛盾。故假设不成立。

证毕。

定理3

对于 中的特征向量,为了跟下面的(1.5)式进行区分,称为一般特征向量。而下面所定义的:

为特征值 对应的广义特征向量(generalized eigenvector),其中 是正整数。

广义特征向量所形成集合,以及零向量,也是 的一个子空间,即 ,称之为 广义特征空间 。具有如下性质:

阶方阵 的一个特征值,以 为指数,则:

证明

采用类似定理1的证明方法。

对线性组合:

两侧同乘: ,根据(1.5)可得:

所以:

如果两侧同乘以 ,同理可得

最终得到

证毕。

定理4

某一特征值 对应的代数重数 为广义特征向量集所张成的子空间维数,即

向量空间 可分为两个不相交的集合:广义特征空间 和值域

阶方阵 的一个特征值,则:

证明

秩—零化度定理可知:

且存在 使得 ,由此二式可得:

所以

根据定理3, ,所以:

证毕。

定理5

所有广义特征向量可张成

证明

分解为广义特征空间 和值域

对任意 可写为 ,所以:

,也就是说 的一个不变子空间。

因为 。根据定理1,不变子空间必有一特征值,所以子空间 也可以分解为广义特征空间和另外一个不变子空间的直和。

继续按照上述方式分割不变子空间,直到整个 都被分解为广义特征空间为止。

所以,广义特征向量足以张成

定理6

子空间 仅有唯一特征值

证明

对于非零向量 ,设 ,则:

故:

但,已知 ,故 ,这与假设矛盾。所以:

证毕。

根据定理5,方阵 所有的广义特征向量可张成 ,而且对应相异特征值的广义特征向量是线性无关的,故 可表示为所有特征向量空间的直和:

即:

又因为: ,所以:

这说明特征值 的代数重数是

因为 ,对应特征值 的线性无关特征向量个数必定不大于线性无关的广义特征向量数。对应的几何重数就是线性无关的特征向量个数,而代数重数等于线性无关的广义特征向量重数。

对应的几何重数不大于代数重数。

参考文献

[1]. Sheldon Axler. 线性代数应该这样学. 北京:人民邮电出版社

[2]. 线代启示录:拒绝行列式的特征分析

[3]. 机器学习数学基础:矩阵对角化

[4]. 机器学习数学基础:秩—零化度定理

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/nodeterminant.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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