不用行列式的特征分析
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在传统的线性代数教材中，行列式占据重要地位，其原因可能在于历史发展顺序。历史上，数学家们先研究怎么用行列式解线性方程组，而后才提出了矩阵等概念。
现在，有数学家提出了不同观点，认为在现代的线性代数中，可以抛弃行列式，最典型代表就是参考文献[1]的作者，美国数学家Sheldon Axler，参考文献[1]就是他的这种思想的集中体现。
下面参考文献[2]，按照Sheldon Axler的思想，不用行列式，演示相关定理的证明。
设向量空间 中的线性变换 ，并 是一个子空间， 表示子空间向量经 映射后的像所成的集合，即 。
如果 ，则称 为线性变换 的一个不变子空间（invariant subspace）。
定理
定理1
对于 矩阵 ，若 为 的一个不变子空间，且 ，则存在非零特征向量 ，使得 。
证明
设 ，非零向量 ，向量集 属于 且线性相关。 维子空间不可能有 个线性无关的向量。所以，存在不全为零的数 ，使得：
成立。
设系数中最大值是 ，显然 ，则可以将 次多项式分解为：
其中 。
于是，（1.1）式的左侧多项式可以参考（1.2）式，分解为：
（1.3）式等号右边的乘法中，至少有一个 和向量 使得：
成立。
即 必定有一个特征向量 对应的特征值是 。
证毕。
定理2
对应相异特征值 的特征向量 组成一个线性无关的向量集合。
此定理在文献[3]中已经证明，并且没有使用行列式，下面的证明即来自文献[3]
证明1
设 为相异特征值， ，对应特征向量集合 ，考虑：
将（1.3）式等号两侧左乘 ，并且 ，得：
因为 ，且 ，所以： 。
同理，可得： 。
故 是一个完整的线性无关集合。
证毕。
证明2（反证法）
设 是线性相关集合，在不失一般性的原则下，设 是最大的线性无关集，则：
其中 不全为零（因为 ）。
（1.4）式等号两侧分别左乘 ，可得：
且：
以上两式相减：
因为 是线性无关的向量集，且 两两相异，所以： 。与（1.4）式假设中的系数矛盾。故假设不成立。
证毕。
定理3
对于 中的特征向量，为了跟下面的（1.5）式进行区分，称为一般特征向量。而下面所定义的：
为特征值 对应的广义特征向量（generalized eigenvector），其中 是正整数。
广义特征向量所形成集合，以及零向量，也是 的一个子空间，即 ，称之为 广义特征空间 。具有如下性质：
若 是 阶方阵 的一个特征值，以 为指数，则：
证明
采用类似定理1的证明方法。
对线性组合：
两侧同乘： ，根据（1.5）可得：
所以： 。
如果两侧同乘以 ，同理可得 。
最终得到 。
证毕。
定理4
某一特征值 对应的代数重数 为广义特征向量集所张成的子空间维数，即 。
向量空间 可分为两个不相交的集合：广义特征空间 和值域 。
若 为 阶方阵 的一个特征值，则：
证明
由秩—零化度定理可知：
设 ，
则 且存在 使得 ，由此二式可得：
所以 。
根据定理3， ，所以：
证毕。
定理5
所有广义特征向量可张成 。
证明
将 分解为广义特征空间 和值域 。
对任意 ， 可写为 ，所以：
即 ，也就是说 是 的一个不变子空间。
因为 。根据定理1，不变子空间必有一特征值，所以子空间 也可以分解为广义特征空间和另外一个不变子空间的直和。
继续按照上述方式分割不变子空间，直到整个 都被分解为广义特征空间为止。
所以，广义特征向量足以张成 。
定理6
子空间 仅有唯一特征值 。
证明
对于非零向量 ，设 且 ，则：
故：
但，已知 ，故 ，这与假设矛盾。所以：
证毕。
根据定理5，方阵 所有的广义特征向量可张成 ，而且对应相异特征值的广义特征向量是线性无关的，故 可表示为所有特征向量空间的直和：
即：
又因为： ，所以： 。
这说明特征值 的代数重数是 。
因为 ，对应特征值 的线性无关特征向量个数必定不大于线性无关的广义特征向量数。对应的几何重数就是线性无关的特征向量个数，而代数重数等于线性无关的广义特征向量重数。
故 对应的几何重数不大于代数重数。
参考文献
[1]. Sheldon Axler. 线性代数应该这样学. 北京：人民邮电出版社
[2]. 线代启示录：拒绝行列式的特征分析
[3]. 机器学习数学基础：矩阵对角化
[4]. 机器学习数学基础：秩—零化度定理
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/nodeterminant.html
来源: 机器学习
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