极分解

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任一 $n\times n$ 实数矩阵 $\pmb{A}$ 都可以分解为：

$\pmb{A}=\pmb{QS}\tag{1}$

其中 $\pmb{Q}$ 是实正交矩阵，$\pmb{S}$ 是实对称半正定矩阵。这就是极分解（polar decomposition）。

推导过程

将 $\pmb{A}$ 奇异值分解$^{[2]}$为：

$\pmb{A}=\pmb{U\Sigma V}^T\tag{2}$

因为 $\pmb{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，$\pmb{U}$、$\pmb{V}$ 和 $\pmb{\Sigma}$ 都是 $n$ 阶，其中 $\pmb{V、U}$ 是正交矩阵，$\pmb{\Sigma}$ 是对角矩阵且主对角元素都不为负。

将 $\pmb{V}^T\pmb{V}=\pmb{I}$ 代入（2）：

$\pmb{A}=\pmb{U}(\pmb{V}^T\pmb{V})\pmb{\Sigma V}^T=(\pmb{U}\pmb{V}^T)(\pmb{V}\pmb{\Sigma V}^T)\tag{3}$

令 $\pmb{Q}=\pmb{UV}^T$ 且 $\pmb{S}=\pmb{V}\pmb{\Sigma V}^T$ ，则（3）式化为：

$\pmb{A}=\pmb{QS}$

又因为：

$\pmb{Q}^T\pmb{Q}=(\pmb{UV}^T)^T(\pmb{UV}^T)=\pmb{VU}^T\pmb{UV}^T=\pmb{VV}^T=\pmb{I}$

故 $\pmb{Q}$ 是实正交矩阵.

因为 $\pmb{\Sigma}$ 是对称半正定矩阵，对任一 $\pmb{x}\in\mathbb{R}^n$ ，有：

$\pmb{x}^T\pmb{Sx}=\pmb{x}^T\pmb{V}\pmb{\Sigma V}^T\pmb{x}=(\pmb{V}^T\pmb{x})^T\pmb{\Sigma}(\pmb{V}^T\pmb{x})\ge 0$

当 $\pmb{A}$ 可逆是，$\pmb{\Sigma}$ 的主对角元都不为零，$\pmb{S}$ 是正定矩阵。

参考文献

[1]. 线代启示录：极分解

[2]. 齐伟. 机器学习数学基础. 北京：电子工业出版社

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/polar_decomposition.html
来源: 机器学习
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