极分解

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任一 实数矩阵 都可以分解为:

其中 是实正交矩阵, 是实对称半正定矩阵。这就是极分解(polar decomposition)。

推导过程

奇异值分解为:

因为 阶矩阵, 都是 阶,其中 是正交矩阵, 是对角矩阵且主对角元素都不为负。

代入(2):

,则(3)式化为:

又因为:

是实正交矩阵.

因为 是对称半正定矩阵,对任一 ,有:

可逆是, 的主对角元都不为零, 是正定矩阵。

参考文献

[1]. 线代启示录:极分解

[2]. 齐伟. 机器学习数学基础. 北京:电子工业出版社

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/polar_decomposition.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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