概率基础

古典概型常用计算方法

  1. 个不同的元素中有放回地每次抽取一个,依次抽取 个排成一列,可以得到 个不同的排列。当随机抽取时,得到的不同跑列是等可能的。
  2. 个不同的元素中无放回第抽取 个元素排成一列时,可以得到 个不同的排列。当随机抽取和排列时,得到的不同排列是等可能的。
  3. 个不同的元素中无放回第抽取 个元素,不论次序地组成一组,可以得到 个不同的组合。当随机抽取时,得到的不同组合是等可能的。
  4. 个不同的元素分成有次序的 组,不考虑每组中元素的次序,第 组有 个元素的不同结果数是 。当随机分组时,得到的把不同结果是等可能的。

概率空间定义

域,如果 满足条件:

  • (a)非负性:对于任何事件 ​ ,

  • (b)完全性:

  • (c)可列可加性:对于 中互不相容的事件 ,有:

则称 上的概率,简称为概率,称 发生的概率,称 概率空间

概率的性质

性质(1)空集的概率是 0:

证明

由概率的可列可加性和 可得

所以,

性质(2)有限可加性:如果 互不相容,则

证明

因为 ​ 互不相容, 由概率的可列可加性得到:

性质(3)

证明

因为

故得证。

性质(4)可减性:如果 ,则

证明

由性质(2)和 可得:

移项后可证。

性质(5)单调性:如果 ,则

证明

由性质(4)可知 ,于是

性质(6)次可加性:对于事件 ,有

​​

证明

,则 互不相容,由 得:

发生,有 可知,一定有某个 发生,但是 不发生,于是 发生。于是得:

由概率的有限可加性得:

加法公式

加法公式 1:对事件 有:

证明

因为 ​ ,所以:

加法公式 2:对事件 ​ 有:

​​​

证明

由加法公式 1 可得:

​​

因为 ​​ ,所以

代入前面的式子,则:

加法公式 3:(若尔当(Jordan)公式)对于事件 ,有:

加法公式 3 是公式 1 和公式 2 的一般化

加法公式 4:如果对 ​ 和 ​ ,总有 ​​ ,则对 有:

推导

中取出 个数,有 种取法,所以:

,有

则:

事件的独立性

定义

如果 ​ ,则称 ​ 、​ 相互独立,简称独立(independent)。

推广:

  • 称事件 相互独立,如果对任何 ​ 有:

  • 称事件 相互独立,如果对任何 ,事件 ​ 相互独立,这是也称 是独立事件列。

定理

定理 1: 独立当且仅当 独立

证明

​ 独立,由 得:

独立。

如果 独立,则由上述可得 ​ 独立。

条件概率和乘法公式

条件概率公式

如果 ,则:

乘法公式

,则:

证明

(1)式可由条件概率公式得到。

(2)式右边每个因子使用条件概率公式得:

全概率公式

对于任何时间 ,由概率的甲方公式得到:

再用乘法公式,得到全概率公式:

推广为一般形式:

如果事件 互不相容, ,则:

证明

因为 ,且 互不相容,所以:

如果事件 互不相容, ,则称 完备事件组,这是 自然成立。于是上述全概率公式的一般形式对任何事件 成立。

典型应用:赌徒破产模型

问题:甲有本金 a 元,决心再赢 b 元停止赌博。设甲每局赢的概率是 ,每局输赢都是一元钱,甲输光后停止赌博,求甲输光的概率

表示甲第一局赢,用 ​ 表示甲有本金 元时最后输光,则

已知 发生后,甲的本金增加医院,所以:

已知 放生后,甲的本金减少医院,所以:

由题意, ,并且:

于是有 ,从而得到:

上式两边对 求和后得到:

​ ,得到:

则:

当甲的本金 a 有限,贪心 b 越大,输光的概率越大,如果一直赌下去,​ ,必定输光。

推广

对上述赌徒模型做进一步研究。假设有 个赌徒加入公平赌博(这个假设很重要),第 ​ 个赌徒的赌资为 ,则 ​ 是所有赌徒的全部赌资,于是得到第 个赌徒输光的概率是:

是有限数,且赌徒充分多,则每个 都接近于 1 。于是,随着时间的推移,大多数赌徒陆续输光,赌资会向少数几个赌徒集中,这就是赌庄逐步形成的过程。如果没有新的赌徒加入,赌庄之间的陆续赌博将使得所有赌资最后集中在一个赌庄手中。

若有无穷多新的赌徒加入,则会有新的赌庄陆续形成。

但最终,逃脱不掉破产的命运。

在非公平赌博模型下,赌徒破产和赌庄聚集赌资都会加快,且赌庄会以一个正概率不破产。

参考文献

[1]. 概率引论. 何书元. 北京:高等教育出版社. 2012.1,第1版

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/probability_space.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

https://gitee.com/qiwsir/images/raw/master/2021-2-15/1613357594979-1.png

results matching ""

    No results matching ""