相似矩阵

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《机器学习数学基础》第3章3.3节专门介绍了相似矩阵的有关内容,包括相似变换、几何理解和对角化,并给出了用程序实现的方法。

用特征值判断矩阵是否相似

都是 矩阵,且 ,即

的列向量为基向量,线性变换 参考此基底的变换矩阵即为

命题1:两个相似矩阵包含相同的特征值。

证明1:

将相似关系代入 ,得:

等号两侧左乘 得:

由此可知 有与 相同的特征值 ,但 的特征向量为

证明2:

计算特征多项式:

在“两个矩阵有相同的特征值”条件下,讨论一下三种情况:

情况1: 皆可对角化

,则

可得: ,则:

所以:

情况2: 可对角化, 不可对角化

此时 不相似于

情况3:都不可对角化

两个矩阵有可能相似,也有可能不相似。需要进一步论证。

相似关系

阶方阵,且 ,即

证明

下述证明参考了文献[2]的相关内容。

设可逆矩阵 ,使得:

其中 为 Jordan 矩阵或 Jordan 典型形式,是由 Jordan分块构成的主对角分块矩阵,则:任何一个 Jordan 分块必定与其转置相似,

又:

所以

证毕

  • ,则 ;又若 可逆,则

证明

根据 ,设 ,则

根据 ,可知 ,又因为 ,所以

可逆,

证毕

  • 至少有一个是可逆的,则

证明

假设 可逆,则

证毕

证明

阶方阵 的奇异值分解为 是正交矩阵,

则:

故:

证毕

参考文献

[1]. 线代启示录:如何检查量矩阵是否相似

[2]. 线代启示录:矩阵与其转置的相似性

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/similarity.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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