相似矩阵
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《机器学习数学基础》第3章3.3节专门介绍了相似矩阵的有关内容，包括相似变换、几何理解和对角化，并给出了用程序实现的方法。
用特征值判断矩阵是否相似
设 和 都是 矩阵，且 ，即 。
以 的列向量为基向量，线性变换 参考此基底的变换矩阵即为 。
命题1：两个相似矩阵包含相同的特征值。
证明1：
将相似关系代入 ，得：
等号两侧左乘 得：
由此可知 有与 相同的特征值 ，但 的特征向量为 。
证明2：
计算特征多项式：
在“两个矩阵有相同的特征值”条件下，讨论一下三种情况：
情况1： 和 皆可对角化
设 ，则 。
由 可得： ，则：
所以： 。
情况2： 可对角化， 不可对角化
此时 不相似于 。
情况3：都不可对角化
两个矩阵有可能相似，也有可能不相似。需要进一步论证。
相似关系
是 阶方阵，且 ，即 。
证明
下述证明参考了文献[2]的相关内容。
设可逆矩阵 ，使得：
其中 为 Jordan 矩阵或 Jordan 典型形式，是由 Jordan分块构成的主对角分块矩阵，则：任何一个 Jordan 分块必定与其转置相似， 。
则 ，
又：
所以
故
证毕
- 若 ，则 ；又若 和 可逆，则 。
证明
根据 ，设 ，则
根据 ，可知 ，又因为 ，所以
和 可逆，
证毕
- 若 至少有一个是可逆的，则 。
证明
假设 可逆，则
证毕
证明
设 阶方阵 的奇异值分解为 ， 是正交矩阵，
则：
故：
证毕
参考文献
[1]. 线代启示录：如何检查量矩阵是否相似
[2]. 线代启示录：矩阵与其转置的相似性
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/similarity.html
来源: 机器学习
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