特殊矩阵

幂零矩阵

级矩阵,若存在一正整数 使得:

则矩阵 称为幂零矩阵(nilpotent matrix),意思是幂矩阵为零矩阵,如何此条件的最小正整数 ​ 称为度数或指数(index)。例如:

​​

定理 1

幂零矩阵的特征值全部为 ,反之,若任一方阵的特征值皆为 ,则该矩阵是幂零矩阵。

或者说:若矩阵 的一个幂矩阵为零矩阵,则 的特征值全都是零;若 至少有一个非零特征值,则 ​ 的所有幂矩阵都不为零矩阵。

即:

矩阵 是幂零矩阵 ​ 矩阵 的特征值都是

证明

【充分性】

幂零矩阵,指数为 的一个特征值,其对应特征向量为 。则:

因为 ,所以

又由于特征向量是非零向量,所以:

【必要性】

矩阵 的特征值都是 ,则 的特征多项式为:

根据凯莱—哈密顿定理​ , ,故存在最小正整数 使得

推论1

幂零矩阵不可逆。

证明

方法1

因为可逆矩阵的特征值不为 ​,由【定理1】可知,幂零矩阵不可逆。

方法2:使用行列式证明。

设密令矩阵的指数 ,使用行列式可乘公式:

因为 ,所以 ,就有 ,则幂零矩阵不可逆。

性质1

是幂零矩阵,则 ​ 是可逆矩阵。

证明

因为 是幂零矩阵,所以 ,则:

根据矩阵多项式的分解:

所以:

计算 ,(参阅 [3])

从而 可逆。

定理2

对一个 ​ 的矩阵 ​ ,使得 ​ 的一个充要条件( ​ )为 ​ 。

证明

【充分性】

的特征值是 。已知 ,由【定理1】得到:​ ,所以 的特征值 全部是零,从而:

【必要性】

将已知条件 写成矩阵形式:

上式的系数矩阵为范德蒙矩阵​ 。

假如所有的 相异,则范德蒙矩阵可逆,故上式仅有零解,​ 。这与刚才的假设矛盾。所以, 有相重的特征值。不妨假设 ​ ,且其余特征值彼此相异,于是有:

用上面的方法,仍然可以得知 中必然含有相重的特征值。

如此持续下去,最终可以归纳所有特征值都相等,即:​​ 。再根据【定理1】可知 是幂零矩阵,即 ​ 。

定理3

是同阶幂零矩阵,且 ,则 是幂零矩阵。

证明

因为 是幂零矩阵,存在正整数 ,使得 。令 。因此 ,再根据 ​ ,得:

考虑:

对于 致使 ,故

酉矩阵

酉矩阵(unitary matrix),也称为幺正矩阵么正矩阵,是一个 复数矩阵,常用字母 表示。

酉矩阵满足:

其中 的共轭转置。

显然,酉矩阵的逆矩阵,就是它的共轭转置矩阵:

其他性质:

  • 酉矩阵的所有特征值,都是绝对值等于 1 的复数,即
  • 酉矩阵的行列式的绝对值等于 1,
  • 酉矩阵不会改变两个复向量 的点积: ,或者更一般化为内积:
  • 都是酉矩阵,则 也是酉矩阵。
  • 对于 的酉矩阵,以下结论等价:
    • ​ 是酉矩阵
    • 是酉矩阵
    • ​ 的列向量是在 ​ 上的一组标准正交基
    • 的行向量是在 上的一组标准正交基

参考文献

[1]. 线代启示录——特殊矩阵(1):幂零矩阵

[2]. 维基百科:凯莱—哈密顿定理

[3]. 可逆矩阵

[4]. 维基百科:范德蒙矩阵

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/special_matrix.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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