特殊矩阵
幂零矩阵
令 为 级矩阵，若存在一正整数 使得：
则矩阵 称为幂零矩阵（nilpotent matrix），意思是幂矩阵为零矩阵，如何此条件的最小正整数 称为度数或指数（index）。例如：
定理 1
幂零矩阵的特征值全部为 ，反之，若任一方阵的特征值皆为 ，则该矩阵是幂零矩阵。
或者说：若矩阵 的一个幂矩阵为零矩阵，则 的特征值全都是零；若 至少有一个非零特征值，则 的所有幂矩阵都不为零矩阵。
即：
矩阵 是幂零矩阵 矩阵 的特征值都是
证明
【充分性】
设 是 幂零矩阵，指数为 ， 为 的一个特征值，其对应特征向量为 。则：
因为 ，所以 或 。
又由于特征向量是非零向量，所以： 。
【必要性】
设 矩阵 的特征值都是 ，则 的特征多项式为：
根据凯莱—哈密顿定理 ， ，故存在最小正整数 使得 。
推论1
幂零矩阵不可逆。
证明
方法1：
因为可逆矩阵的特征值不为 ，由【定理1】可知，幂零矩阵不可逆。
方法2：使用行列式证明。
设密令矩阵的指数 ，使用行列式可乘公式：
因为 ，所以 ，就有 ，则幂零矩阵不可逆。
性质1
若 是幂零矩阵，则 是可逆矩阵。
证明
因为 是幂零矩阵，所以 ，则：
根据矩阵多项式的分解：
所以：
计算 ，（参阅 [3]）
从而 可逆。
定理2
对一个 的矩阵 ，使得 的一个充要条件（ ）为 。
证明
【充分性】
设 的特征值是 。已知 ，由【定理1】得到： ，所以 的特征值 全部是零，从而：
【必要性】
将已知条件 写成矩阵形式：
上式的系数矩阵为范德蒙矩阵 。
假如所有的 相异，则范德蒙矩阵可逆，故上式仅有零解， 。这与刚才的假设矛盾。所以， 有相重的特征值。不妨假设 ，且其余特征值彼此相异，于是有：
用上面的方法，仍然可以得知 中必然含有相重的特征值。
如此持续下去，最终可以归纳所有特征值都相等，即： 。再根据【定理1】可知 是幂零矩阵，即 。
定理3
若 与 是同阶幂零矩阵，且 ，则 和 是幂零矩阵。
证明
因为 和 是幂零矩阵，存在正整数 ，使得 。令 。因此 ，再根据 ，得：
考虑：
对于 ， 致使 或 ，故
酉矩阵
酉矩阵（unitary matrix），也称为幺正矩阵、么正矩阵，是一个 复数矩阵，常用字母 表示。
酉矩阵满足：
其中 是 的共轭转置。
显然，酉矩阵的逆矩阵，就是它的共轭转置矩阵：
其他性质：
- 酉矩阵的所有特征值，都是绝对值等于 1 的复数，即
- 酉矩阵的行列式的绝对值等于 1，
- 酉矩阵不会改变两个复向量 和 的点积： ，或者更一般化为内积：
- 若 都是酉矩阵，则 也是酉矩阵。
- 对于 的酉矩阵，以下结论等价：
- 是酉矩阵
- 是酉矩阵
- 的列向量是在 上的一组标准正交基
- 的行向量是在 上的一组标准正交基
参考文献
[1]. 线代启示录——特殊矩阵（1）：幂零矩阵
[2]. 维基百科：凯莱—哈密顿定理
[3]. 可逆矩阵
[4]. 维基百科：范德蒙矩阵
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/special_matrix.html
来源: 机器学习
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