张量和张量积
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《机器学习数学基础》第4章4.1.2节介绍了张量和张量积
张量积（tensor product），又称克罗内克积（Kronecker product）。
利奥波德·克罗内克（德语：Leopold Kronecker，1823年12月7日－1891年12月29日），德国数学家与逻辑学家，出生于西里西亚利格尼茨（现属波兰的莱格尼察），卒于柏林。他认为算术与数学分析都必须以整数为基础，他曾说：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”（Bell 1986, 477页）。这与数学家格奥尔格·康托尔的观点相互对立。克罗内克是恩斯特·库默尔的学生和终身挚友。
张量积定义
设 ， 为 矩阵，张量积 为 阶矩阵，定义为：
运算和性质
性质
（1）
（2）
- （3）
- （4）
- （5）
- （6）
注意：张量积通常不符合交换律， 通常不等于 。
混合乘积运算
- （7）若 和 存在，则：
证明
根据定义，可得：
对于 有：
所以：
证毕。
（8）若 为 阶方阵， 为 阶方阵，则：
证明
根据性质（7）直接计算：
证毕。
- （9）如果 和 都是可逆矩阵，则：
证明
根据性质（7）计算：
特征值
设 为 阶方阵， 为 阶方阵，且：
则：
证明
根据混合乘积运算性质（7），可以计算：
又因为 、 ，根据上式结果，可得：
上面两式相加，并应用性质（4）可得：
根据：矩阵特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式（见《机器学习数学基础》第3章3.1.2节），有：
参考文献
[1]. 维基百科：利奥波德·克罗内克
作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/tensorproduct.html
来源: 机器学习
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