张量和张量积

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《机器学习数学基础》第4章4.1.2节介绍了张量和张量积

张量积(tensor product),又称克罗内克积(Kronecker product)。

利奥波德·克罗内克(德语:Leopold Kronecker,1823年12月7日-1891年12月29日),德国数学家与逻辑学家,出生于西里西亚利格尼茨(现属波兰的莱格尼察),卒于柏林。他认为算术与数学分析都必须以整数为基础,他曾说:“上帝创造了整数,其余都是人做的工作”(Bell 1986, 477页)。这与数学家格奥尔格·康托尔的观点相互对立。克罗内克是恩斯特·库默尔的学生和终身挚友

张量积定义

矩阵,张量积 阶矩阵,定义为:

运算和性质

性质

  • (1)

  • (2)

  • (3)
  • (4)
  • (5)
  • (6)

注意:张量积通常不符合交换律, 通常不等于

混合乘积运算

  • (7)若 存在,则:

证明

根据定义,可得:

对于 有:

所以:

证毕。

  • (8)若 阶方阵, 阶方阵,则:

证明

根据性质(7)直接计算:

证毕。

  • (9)如果 都是可逆矩阵,则:

证明

根据性质(7)计算:

特征值

阶方阵, 阶方阵,且:

则:

证明

根据混合乘积运算性质(7),可以计算:

又因为 ,根据上式结果,可得:

上面两式相加,并应用性质(4)可得:

根据:矩阵特征值之和等于迹,特征值之积等于行列式(见《机器学习数学基础》第3章3.1.2节),有:

参考文献

[1]. 维基百科:利奥波德·克罗内克

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/tensorproduct.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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