高等数学中的定理

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最值定理

定理：连续函数的函数值必定有最值

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$ ，即 $\exists x_1,x_2\in[a, b]$ ，使 $f(x_1)=m$ ，$f(x_2)=M$

有界定理

定理：连续函数必定有界

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，且 $\exists k\gt0$ ，使 $\forall x\in[a,b]$ ，有 $|f(x)|\le k$

证明

$\because f(x)\in\C[a, b]$

根据【最值定理】，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上取最小值 $m$ 与最大值 $M$ ，即：

$f(x)\ge m$ ， $f(x)\le M$

故：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上下界，从而：

$\exists k\gt0$ ，使 $\forall x\in[a,b]$ ，有 $|f(x)|\le k$

零点定理

定理：连续函数横跨 $x$ 轴两侧，必定与 $x$ 轴有交点

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，若 $f(a)f(b)\lt0$ ，则 $\exists c\in(a,b)$ ，使 $f(c)=0$

介值定理

定理：介于 $m$ 和 $M$ 之间的值，$f(x)$ 皆可取到

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，则 $\forall\eta\in[m,M]$ ，$\exists\xi\in[a,b]$ ，使 $f(\xi)=\eta$

罗尔中值定理

定理：连续函数两端点函数值相同，至少存在一个切线平行于 $x$ 轴的点

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=f(b)$ ，则 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $f'(\xi)=0$

证明

$\because f(x)\in C[a, b]$

根据【最值定理】，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上取最小值 $m$ 与最大值 $M$

若 $m=M$ ，则 $f(x)=C_0$ ，故 $\forall\xi(a,b)$ ，有 $f'(\xi)=0$

若 $m\lt M$ ，$\because f(a)=f(b)$

若 $f(a)=m$ ，则 $f(b)=m$ ，$\Rightarrow$ $M$ 在 $(a,b)$ 内取到

若 $f(a)=M$ ，则 $f(b)=M$ ，$\Rightarrow$ $m$ 在 $(a,b)$ 内取到

所以，$m$ 和 $M$ 至少有一个在 $(a,b)$ 内取到

设 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $f(\xi)=m$ $\Rightarrow$ $f'(\xi)=0$ 或 $f'(\xi)$ 不存在

又因为 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，所以 $f'(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

定理：连续函数至少存在一点的切线斜率等于两端点的斜率

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。$\exists\xi\in[a,b]$ ，使 $f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

证明

由已知条件，可得过端点的直线：$L_{ab}=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

令 $\phi(x)=f(x)-L_{ab}=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

$\phi(x)\in C[a,b]$ ，$\phi(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，

且 $\phi(a)=\phi(b)=0$ ，则 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $\phi'(\xi)=0$

$\because\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\therefore f'(\xi)=\phi'(\xi)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

定理： 设 $f(x)\in C[a, b]$ ，$f(x)，g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，$g'(x)\ne0，(a\lt x\lt b)$ 。则 $\exists\xi\in[a,b]$ ，使 $f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

证明

当 $g(x)=x$ 时，令 $\phi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$

$\phi(x)\in C[a,b]$ ，$\phi(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，

且 $\phi(a)=\phi(b)=0$ ，则 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $\phi'(\xi)=0$

$\because\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)$

$\therefore f'(\xi)=\phi'(\xi)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)$

$\because g'(\xi)\ne0，\phi'(\xi)=0$

故 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}==\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

积分中值定理

定理：设 $f(x)\in C[a, b]$ ，则 $\exists\xi\in[a,b]$ ，使 $\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

证明

因为 $f(x)\in C[a, b]$ ，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最值，$m\le f(x)\le M$ ，则：

$\int_a^bmdx\le\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bMdx$

$m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$

$m\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\le M$

$\therefore\exists\xi\in[a,b]$ ，使 $f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$ （介值定理）

故 $\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

推理

设 $f(x)\in C[a, b]$ ，则 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

（不取两端点）

证明

令 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，$F'(x)=f(x)$

则 $\int_a^bf(x)dx=F(b)-0=F(b)-\int_a^af(x)dx=F(b)-F(a)$

$\therefore\exists\xi\in(a,b)$ ，使 $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)$ （拉格朗日中值定理）

$F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)$

参考资料

[1]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/363817029

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/theorem.html
来源: 机器学习
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