高等数学中的定理

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最值定理

定理:连续函数的函数值必定有最值

,则 上取到最小值 与最大值 ,即 ,使

有界定理

定理:连续函数必定有界

,且 ,使 ,有

证明

根据【最值定理】, 上取最小值 与最大值 ,即:

故: 上有上下界,从而:

,使 ,有

零点定理

定理:连续函数横跨 轴两侧,必定与 轴有交点

,若 ,则 ,使

介值定理

定理:介于 之间的值, 皆可取到

,则 ,使

罗尔中值定理

定理:连续函数两端点函数值相同,至少存在一个切线平行于 轴的点

内可导, ,则 ,使

证明

根据【最值定理】, 上取最小值 与最大值

,则 ,故 ,有

,则 内取到

,则 内取到

所以, 至少有一个在 内取到

,使 不存在

又因为 内可导,所以

拉格朗日中值定理

定理:连续函数至少存在一点的切线斜率等于两端点的斜率

内可导。 ,使

证明

由已知条件,可得过端点的直线:

内可导,

,则 ,使

柯西中值定理

定理: 内可导, 。则 ,使

证明

时,令

内可导,

,则 ,使

积分中值定理

定理: ,则 ,使

证明

因为 ,所以 上存在最值, ,则:

,使 (介值定理)

推理

,则 ,使

(不取两端点)

证明

,使 (拉格朗日中值定理)

参考资料

[1]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/363817029

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/theorem.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
本文原创发布于「老齐教室-机器学习数学基础」,转载请注明出处,谢谢合作!

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