矩阵的迹

阶方阵 的迹:

迹与行列式都是方阵的函数。

的特征值 ,则:

性质

  • 推导

  • 推导

    ​​

  • ​​

    推导

    ​​

    ​​

  • 转置与共轭的迹:​​ ,

  • 相似变换不改变矩阵的迹。若 ​ 是一个可逆矩阵,则:

    证明:

    所以,迹是相似变换下不变的性质之一。

迹与特征值的关系

式一:

幂矩阵 的特征值是 ​ ,根据前述迹与特征值之间的关系,可以得到上式。

式二:

此式称为 Schur 不等式

根据奇异值分解​​ :

即知 的特征值,有:

使用 Schur 分解, ,得到:

因为

所以:

式三:

Cauchy 不等式:

式四: ​​

参考文献

[1]. 线代启示录:迹数的性质与应用

[2]. 线代启示录:矩阵迹数与特征值和奇异值的关系

[3]. 常用的矩阵分解

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/trace.html
来源: 老齐教室-机器学习数学基础
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