转置矩阵

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《机器学习数学基础》第2章2.3.2节介绍了转置矩阵的基本概念，并且在之后的有关问题探讨中，经常会用到转置矩阵。此处在书中介绍的基础上，并综合其他有关知识，深入阐述对转置矩阵的理解。

以线性变换角度理解转置矩阵的意义$^{[1]}$ 。

矩阵 $\pmb{A}$ 为 $m\times n$ ，从线性变换的角度来看：

$\begin{split}\pmb{A}&:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\\\pmb{A}^{\rm{T}}&:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n\end{split}$​

如下图所示：

在“秩—零化度定理”中，对 $\pmb{A}$​ 和 $\pmb{A}^{\rm{T}}$​ 的列空间维数关系有所阐述，请参考。

转置矩阵的定义

结合上图，设 $\pmb{x},\pmb{A}^{\rm{T}}\pmb{y}\in\mathbb{R}^n；\pmb{y},\pmb{Ax}\in\mathbb{R}^m$​ 。因为：

$(\pmb{Ax})^{\rm{T}}\pmb{y}=\pmb{x}^{\rm{T}}\pmb{A}^{\rm{T}}\pmb{y}=\pmb{x}^{\rm{T}}(\pmb{A}^{\rm{T}}\pmb{y})$

可得：$\mathbb{R}^m$ 中的向量 $\pmb{Ax}$ 与 $\pmb{y}$ 的点积等于 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\pmb{x}$ 与 $\pmb{A}^{\rm{T}}\pmb{y}$ 的点积$^{[2]}$ 。

以上的性质，称为伴随（adjoint），利用这个性质定义转置矩阵：

设 $m\times n$ 的实矩阵 $\pmb{A}$ ，则转置矩阵 $\pmb{A}^T$ 应满足：$(\pmb{Ax})^{\rm{T}}\pmb{y}=\pmb{x}^{\rm{T}}(\pmb{A}^{\rm{T}}\pmb{y})$

参考文献

[1]. 线代启示录：转置矩阵的意义

[2]. 关于内积和点积的详细内容，请参阅《机器学习数学基础》第1章1.4.2节。

作者: 老齐
链接: http://math.itdiffer.com/transpose.html
来源: 机器学习
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